Tesselyatsiya: Takrorlanuvchi naqshlar matematikasini o'rganish

Tesselyatsiya, shuningdek, qoplama deb ham ataladi, bu bir yoki bir nechta geometrik shakllar, ya'ni plitkalar yordamida sirtni ustma-ust tushmasdan va bo'shliqlarsiz qoplashdir. Matematik jihatdan, bu geometriya, san'at va hatto fizikani bog'laydigan qiziqarli sohadir. Ushbu maqolada tesselyatsiyalarning matematik asoslari, tarixiy konteksti, san'atdagi qo‘llanilishi va real hayotdagi misollari keng qamrovli o'rganiladi.

Tesselyatsiya nima?

Asosan, tesselyatsiya bu tekislikni qoplash uchun bir yoki bir nechta shakllarni takrorlash orqali hosil qilingan naqshdir. Uning asosiy xususiyatlari:

• Bo'shliqlarsiz: Plitkalar bir-biriga mukammal mos tushishi, ular orasida bo'sh joy qoldirmasligi kerak.
• Ustma-ust tushmasdan: Plitkalar bir-birining ustiga chiqmasligi kerak.
• To'liq qoplama: Plitkalar butun sirtni qoplashi kerak.

Tesselyatsiyalarni ishlatiladigan shakllarning turlariga va ularning joylashish tartibiga qarab tasniflash mumkin. Oddiy tesselyatsiyalar bitta shaklni o'z ichiga olsa, murakkab tesselyatsiyalar bir nechta shakllardan foydalanadi.

Tesselyatsiyalarning turlari

Tesselyatsiyalarni keng ma'noda quyidagi toifalarga bo'lish mumkin:

Muntazam tesselyatsiyalar

Muntazam tesselyatsiya faqat bir turdagi muntazam ko'pburchakdan (barcha tomonlari va burchaklari teng bo'lgan ko'pburchak) tuziladi. Tekislikni qoplay oladigan faqat uchta muntazam ko'pburchak mavjud:

• Teng tomonli uchburchaklar: Ular juda keng tarqalgan va barqaror tesselyatsiyani hosil qiladi. Ko'priklardagi uchburchakli tayanch konstruktsiyalarini yoki ba'zi kristall panjaralardagi atomlarning joylashishini o'ylang.
• Kvadratlar: Ehtimol, dunyo bo'ylab pol plitkalari, katakli qog'ozlar va shahar rejasida ko'rinadigan eng keng tarqalgan tesselyatsiyadir. Kvadratlarning mukammal ortogonal tabiati ularni amaliy qo'llash uchun ideal qiladi.
• Muntazam oltiburchaklar: Asalari uyalari va ba'zi molekulyar tuzilmalarda uchraydigan oltiburchaklar maydondan samarali foydalanishni va strukturaviy yaxlitlikni ta'minlaydi. Ularning olti karrali simmetriyasi noyob xususiyatlarni taqdim etadi.

Ushbu uchtasi yagona mumkin bo'lgan muntazam tesselyatsiyalardir, chunki ko'pburchakning ichki burchagi bir uchda uchrashish uchun 360 gradusning bo'luvchisi bo'lishi kerak. Masalan, teng tomonli uchburchakning burchaklari 60 gradusga teng va oltita uchburchak bir nuqtada uchrashishi mumkin (6 * 60 = 360). Kvadratning burchaklari 90 gradusga teng va to'rttasi bir nuqtada uchrashishi mumkin. Oltiburchakning burchaklari 120 gradusga teng va uchtasi bir nuqtada uchrashishi mumkin. Burchaklari 108 gradus bo'lgan muntazam beshburchak tesselyatsiya hosil qila olmaydi, chunki 360 soni 108 ga qoldiqsiz bo'linmaydi.

Yarim muntazam tesselyatsiyalar

Yarim muntazam tesselyatsiyalar (Arximed tesselyatsiyalari deb ham ataladi) ikki yoki undan ortiq turli muntazam ko'pburchaklardan foydalanadi. Har bir uchdagi ko'pburchaklarning joylashuvi bir xil bo'lishi kerak. Sakkizta mumkin bo'lgan yarim muntazam tesselyatsiya mavjud:

• Uchburchak-kvadrat-kvadrat (3.4.4.6)
• Uchburchak-kvadrat-oltiburchak (3.6.3.6)
• Uchburchak-uchburchak-kvadrat-kvadrat (3.3.4.3.4)
• Uchburchak-uchburchak-uchburchak-kvadrat (3.3.3.4.4)
• Uchburchak-uchburchak-uchburchak-uchburchak-oltiburchak (3.3.3.3.6)
• Kvadrat-kvadrat-kvadrat (4.8.8)
• Uchburchak-o'nikkiburchak-o'nikkiburchak (4.6.12)
• Uchburchak-kvadrat-o'nikkiburchak (3.12.12)

Qavs ichidagi yozuv soat mili bo'yicha yoki unga qarshi yo'nalishda uch atrofidagi ko'pburchaklarning tartibini ifodalaydi.

Muntazam bo'lmagan tesselyatsiyalar

Muntazam bo'lmagan tesselyatsiyalar muntazam bo'lmagan ko'pburchaklardan (tomonlari va burchaklari teng bo'lmagan ko'pburchaklar) hosil bo'ladi. Har qanday uchburchak yoki to'rtburchak (qavariq yoki botiq) tekislikni qoplay oladi. Bu egiluvchanlik keng ko'lamli badiiy va amaliy qo'llash imkonini beradi.

Davriy bo'lmagan tesselyatsiyalar

Davriy bo'lmagan tesselyatsiyalar - bu tekislikni faqat davriy bo'lmagan tarzda qoplay oladigan maxsus plitkalar to'plamidan foydalanadigan qoplamalardir. Bu naqsh hech qachon aynan takrorlanmasligini anglatadi. Eng mashhur misol - 1970-yillarda Rojer Penrouz tomonidan kashf etilgan Penrouz qoplamasi. Penrouz qoplamalari ikki xil rombdan foydalangan holda davriy bo'lmagan qoplamadir. Bu qoplamalar qiziqarli matematik xususiyatlarga ega va ba'zi qadimiy islom binolaridagi naqshlar kabi kutilmagan joylarda topilgan.

Tesselyatsiyalarning matematik tamoyillari

Tesselyatsiyalar ortidagi matematikani tushunish geometriya, jumladan burchaklar, ko'pburchaklar va simmetriya tushunchalarini o'z ichiga oladi. Asosiy tamoyil shundaki, bir uch atrofidagi burchaklar yig'indisi 360 gradusga teng bo'lishi kerak.

Burchaklar yig'indisi xususiyati

Yuqorida aytib o'tilganidek, har bir uchdagi burchaklar yig'indisi 360 gradusga teng bo'lishi kerak. Bu tamoyil qaysi ko'pburchaklar tesselyatsiya hosil qilishi mumkinligini belgilaydi. Muntazam ko'pburchaklarning ichki burchaklari 360 ning bo'luvchilari bo'lishi kerak.

Simmetriya

Simmetriya tesselyatsiyalarda hal qiluvchi rol o'ynaydi. Tesselyatsiyada mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan bir necha turdagi simmetriya mavjud:

• Ko'chirish: Naqshni bir chiziq bo'ylab siljitish (ko'chirish) mumkin va u hali ham bir xil ko'rinadi.
• Aylantirish: Naqshni bir nuqta atrofida aylantirish mumkin va u hali ham bir xil ko'rinadi.
• Akslantirish: Naqshni bir chiziq bo'yicha akslantirish mumkin va u hali ham bir xil ko'rinadi.
• Sirpanuvchi akslantirish: Akslantirish va ko'chirishning kombinatsiyasi.

Bu simmetriyalar fon guruhlari deb nomlanuvchi tushunchalar bilan tavsiflanadi. 17 ta fon guruhi mavjud bo'lib, har biri 2D takrorlanuvchi naqshda mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan simmetriyalarning noyob kombinatsiyasini ifodalaydi. Fon guruhlarini tushunish matematiklar va rassomlarga tesselyatsiyalarning turli xil turlarini tizimli ravishda tasniflash va yaratish imkonini beradi.

Yevklid va Yevklid bo'lmagan geometriya

An'anaviy ravishda, tesselyatsiyalar tekis yuzalar bilan shug'ullanadigan Yevklid geometriyasi doirasida o'rganiladi. Biroq, tesselyatsiyalarni giperbolik geometriya kabi Yevklid bo'lmagan geometriyada ham o'rganish mumkin. Giperbolik geometriyada parallel chiziqlar bir-biridan uzoqlashadi va uchburchakdagi burchaklar yig'indisi 180 gradusdan kam bo'ladi. Bu Yevklid fazosida mumkin bo'lmagan ko'pburchaklar bilan tesselyatsiyalar yaratishga imkon beradi. M.K. Esher o'zining keyingi asarlarida H.S.M. Kokseterning matematik tushunchalari yordamida giperbolik tesselyatsiyalarni mashhur tarzda o'rgangan.

Tarixiy va madaniy ahamiyati

Tesselyatsiyalardan foydalanish qadimgi sivilizatsiyalarga borib taqaladi va dunyo bo'ylab san'at, arxitektura va bezak naqshlarining turli shakllarida uchraydi.

Qadimgi sivilizatsiyalar

• Qadimgi Rim: Rim mozaikalarida ko'pincha bezak naqshlari va sahnalar tasvirlarini yaratish uchun kichik rangli plitkalar (tesseralar) yordamida murakkab tesselyatsiyalar mavjud. Bu mozaikalar Rim imperiyasining butun hududida, Italiyadan Shimoliy Afrika va Britaniyagacha topilgan.
• Qadimgi Gretsiya: Yunon arxitekturasi va kulolchiligida ko'pincha geometrik naqshlar va tesselyatsiyalar mavjud. Masalan, meandr naqshlari yunon san'atida tez-tez uchraydigan tesselyatsiya shaklidir.
• Islom san'ati: Islom san'ati o'zining murakkab geometrik naqshlari va tesselyatsiyalari bilan mashhur. Islom san'atida tesselyatsiyalardan foydalanish cheksizlik va barcha narsalarning birligini ta'kidlaydigan diniy e'tiqodlarga asoslanadi. Islom dunyosidagi masjidlar va saroylarda turli geometrik shakllardan foydalangan holda ajoyib tesselyatsiya namunalari namoyish etilgan. Ispaniyaning Granada shahridagi Al-Hambra saroyi bunga yorqin misol bo'lib, unda turli xil tesselyatsiyalangan naqshlarga ega murakkab mozaikalar va koshinlar mavjud.

Zamonaviy qo'llanilishi

Tesselyatsiyalar zamonaviy davrda ham o'z ahamiyatini yo'qotmagan va turli sohalarda qo'llanilmoqda:

• Arxitektura: Tesselyatsiyalangan yuzalar binolarning fasadlari, tomlari va ichki dizaynlarida vizual jozibali va strukturaviy mustahkam tuzilmalar yaratish uchun ishlatiladi. Misollar qatoriga Buyuk Britaniyaning Kornuoll shahridagi oltiburchak panellardan tashkil topgan geodezik gumbazli Eden loyihasi kiradi.
• Kompyuter grafikasi: Tesselyatsiya - bu kompyuter grafikasida 3D modellarning detallarini ko'pburchaklarni kichikroqlarga bo'lish orqali oshirish uchun ishlatiladigan usul. Bu silliqroq yuzalar va yanada realistik tasvirlarga imkon beradi.
• To'qimachilik dizayni: Tesselyatsiyalar matolarda takrorlanuvchi naqshlar yaratish uchun to'qimachilik dizaynida qo'llaniladi. Bu naqshlar oddiy geometrik dizaynlardan tortib, murakkab va nafis motivlargacha bo'lishi mumkin.
• Qadoqlash: Tesselyatsiyalar mahsulotlarni samarali qadoqlash, chiqindilarni minimallashtirish va bo'sh joydan maksimal darajada foydalanish uchun ishlatilishi mumkin.
• Fan: Tesselyatsiyalangan shakllar tabiatda, masalan, asalari uyasining oltiburchak katakchalari yoki ba'zi baliqlarning tangachalari kabi uchraydi. Tesselyatsiyalarni tushunish olimlarga ushbu tabiiy hodisalarni modellashtirish va tushunishga yordam beradi.

San'at va tabiatdagi tesselyatsiya misollari

Tesselyatsiyalar nafaqat matematik tushunchalar; ular san'at va tabiatda ham uchraydi, ilhom va amaliy qo'llanmalar beradi.

M. K. Esher

Maurits Kornelis Esher (1898-1972) - gollandiyalik grafik rassom, o'zining matematikadan ilhomlangan ksilografiyalari, litografiyalari va metsotintalari bilan tanilgan. Esherning asarlarida ko'pincha tesselyatsiyalar, imkonsiz konstruktsiyalar va cheksizlikni o'rganish mavjud. U tesselyatsiya tushunchasiga maftun bo'lgan va uni o'z san'atida vizual jihatdan hayratlanarli va intellektual jihatdan rag'batlantiruvchi asarlar yaratish uchun keng qo'llagan. Uning "Sudralib yuruvchilar", "Osmon va Suv" va "Doira Chegarasi III" kabi asarlari turli shakllarga aylanadigan va idrok chegaralarini o'rganadigan tesselyatsiyalarning mashhur namunalaridir. Uning ishi matematika va san'at o'rtasidagi bo'shliqni to'ldirib, matematik tushunchalarni kengroq auditoriyaga tushunarli va qiziqarli qildi.

Asalari uyasi

Asalari uyasi tabiiy tesselyatsiyaning klassik namunasidir. Asalarilar o'z uyalarini oltiburchak katakchalardan quradilar, ular mustahkam va samarali tuzilma yaratish uchun bir-biriga mukammal mos tushadi. Oltiburchak shakli saqlanishi mumkin bo'lgan asal miqdorini maksimal darajada oshiradi va uyani qurish uchun zarur bo'lgan mum miqdorini minimallashtiradi. Resurslardan bu kabi samarali foydalanish tesselyatsiyalangan tuzilmalarning evolyutsion afzalliklaridan dalolat beradi.

Jirafa dog'lari

Jirafaning dog'lari, mukammal tesselyatsiya bo'lmasa-da, tesselyatsiyaga o'xshash naqshni namoyish etadi. Dog'larning muntazam bo'lmagan shakllari jirafaning tanasini samarali qoplaydigan tarzda bir-biriga mos keladi. Bu naqsh kamuflyajni ta'minlaydi, jirafaning o'z muhiti bilan uyg'unlashishiga yordam beradi. Garchi dog'lar o'lchami va shakli jihatidan farq qilsa-da, ularning joylashuvi tabiiy ravishda yuzaga keladigan tesselyatsiyaga o'xshash naqshni namoyish etadi.

Fraktal tesselyatsiyalar

Fraktal tesselyatsiyalar murakkab va o'ziga o'xshash naqshlar yaratish uchun fraktallar va tesselyatsiyalar tamoyillarini birlashtiradi. Fraktallar - bu turli miqyoslarda o'ziga o'xshashlikni namoyish etadigan geometrik shakllar. Fraktallar tesselyatsiyada plitka sifatida ishlatilganda, natijada paydo bo'lgan naqsh cheksiz murakkab va vizual jihatdan hayratlanarli bo'lishi mumkin. Bunday tesselyatsiyalarni matematik vizualizatsiyalar va kompyuterda yaratilgan san'atda topish mumkin. Fraktal tesselyatsiyalarga misollar Sierpinski uchburchagi yoki Kox qor parchasi asosida yaratilganlarni o'z ichiga oladi.

O'z tesselyatsiyangizni qanday yaratish mumkin

Tesselyatsiyalar yaratish qiziqarli va ta'limiy mashg'ulot bo'lishi mumkin. O'zingizning tesselyatsiyalaringizni yaratish uchun foydalanishingiz mumkin bo'lgan ba'zi oddiy usullar:

Asosiy ko'chirish usuli

1. Kvadratdan boshlang: Kvadrat shaklidagi qog'oz yoki kartondan boshlang.
2. Kesib oling va ko'chiring: Kvadratning bir tomonidan shakl kesib oling. Keyin, ushbu shaklni qarama-qarshi tomonga ko'chiring (siljiting) va yopishtiring.
3. Takrorlang: Jarayonni kvadratning qolgan ikki tomonida takrorlang.
4. Tesselyatsiya qiling: Endi sizda tesselyatsiya qilinishi mumkin bo'lgan plitka bor. Tesselyatsiyalangan naqsh yaratish uchun plitkani qog'ozga bir necha marta chizing.

Aylantirish usuli

1. Shakldan boshlang: Kvadrat yoki teng tomonli uchburchak kabi muntazam ko'pburchakdan boshlang.
2. Kesib oling va aylantiring: Ko'pburchakning bir tomonidan shakl kesib oling. Keyin, ushbu shaklni bir uch atrofida aylantiring va boshqa tomonga yopishtiring.
3. Takrorlang: Jarayonni kerak bo'lganda takrorlang.
4. Tesselyatsiya qiling: Tesselyatsiyalangan naqsh yaratish uchun plitkani bir necha marta chizing.

Dasturiy ta'minotdan foydalanish

Tesselyatsiyalar yaratishga yordam beradigan turli dasturiy ta'minotlar va onlayn vositalar mavjud. Ushbu vositalar murakkab va vizual jozibali naqshlar yaratish uchun turli shakllar, ranglar va simmetriyalar bilan tajriba o'tkazishga imkon beradi. Ba'zi mashhur dasturiy ta'minot variantlari quyidagilarni o'z ichiga oladi:

• TesselManiac!
• Adobe Illustrator
• Geogebra

Tesselyatsiyalarning kelajagi

Tesselyatsiyalar faol tadqiqot va izlanishlar sohasi bo'lib qolmoqda. Tesselyatsiyalarning yangi turlari kashf etilmoqda va turli sohalarda yangi qo'llanmalar topilmoqda. Ba'zi potentsial kelajakdagi ishlanmalar quyidagilarni o'z ichiga oladi:

• Yangi materiallar: Noyob xususiyatlarga ega yangi materiallarning yaratilishi kuchaytirilgan mustahkamlik, egiluvchanlik yoki funksionallikka ega yangi turdagi tesselyatsiyalangan tuzilmalarga olib kelishi mumkin.
• Robototexnika: Turli muhitlarga moslasha oladigan va turli vazifalarni bajara oladigan tesselyatsiyalangan robotlar ishlab chiqilishi mumkin. Bu robotlar robotning shakli va funksiyasini o'zgartirish uchun o'zini qayta tartibga sola oladigan modulli plitkalardan iborat bo'lishi mumkin.
• Nanotexnologiya: Tesselyatsiyalar nanotexnologiyada maxsus xususiyatlarga ega o'z-o'zidan yig'iladigan tuzilmalarni yaratish uchun ishlatilishi mumkin. Ushbu tuzilmalar dori-darmonlarni yetkazib berish, energiya saqlash va sezish kabi sohalarda qo'llanilishi mumkin.

Xulosa

Tesselyatsiya - bu geometriya, san'at va fanni bog'laydigan matematikaning boy va qiziqarli sohasidir. Pol plitkalarining oddiy naqshlaridan tortib, islom mozaikalarining murakkab dizaynlarigacha va M.K. Esherning innovatsion san'atigacha, tesselyatsiyalar asrlar davomida odamlarni maftun etib, ilhomlantirib kelgan. Tesselyatsiyalar ortidagi matematik tamoyillarni tushunib, biz ularning go'zalligi va funksionalligini qadrlashimiz va turli sohalardagi potentsial qo'llanmalarini o'rganishimiz mumkin. Siz matematik, rassom yoki shunchaki atrofingizdagi dunyoga qiziquvchan bo'lsangiz ham, tesselyatsiyalar o'rganish uchun noyob va foydali mavzuni taklif etadi.

Shunday qilib, keyingi safar takrorlanuvchi naqshni ko'rganingizda, bir lahza to'xtab, tesselyatsiyalarning matematik nafisligi va madaniy ahamiyatini qadrlang!